\(x,y\in Z\), \(m\in Z^{+}\) ve \(m>1\) olmak üzere;
\(x-y= k.m\) \((k\in Z)\) şeklinde ifade edilebiliyorsa \(x\equiv y(mod m)\)'dir. Buna x m modülüne göre y'ye denktir denir.
\(12\equiv 2(mod5)\) \(12-2=2.5\)
\(5\equiv 19(mod7)\) \(5-19=-2.7\)
\(24\equiv 6(mod6)\) \(24-6=4.6\)
Belirli bir \(c<m\) ve \(c\in Z^{+}\) değeri için \(x\equiv c(mod m)\) değerini sağlayan tüm değerler m modülüne göre bir kalan sınıfı oluşturur ve \(\overline{c_m}\) şeklinde gösterilir. \(c<m\) olacak şekilde tüm \(c\) değerleri için kalan sınıflarını içeren kümeye de kalan sınıfları kümesi denir. Kalan sınıfları kümesi \(Z/m\) şeklinde gösterilir.
4 modülüne göre kalan sınıfları kümesi:
\(Z/4={\overline{0_4},\overline{1_4},\overline{2_4},\overline{3_4}}\)
\(Z/4={\overline{0_4},\overline{1_4},\overline{2_4},\overline{3_4}}\)
Yukarıdaki kalan sınıfı örneğine göre 1, 5, 9 ve 13 birbirine denktir. Çünkü hepsi birden \(\overline{1_4}\) ile temsil edilmektedir.
Modüler aritmetikte bilinmesi önemli olan özellikler aşağıda sıralanmıştır:
- Bir denkliğin bir tarafına modülün katları eklenir ya da denkliğin bir tarafından modülün katları çıkarılırsa denklik bozulmaz:
\(x\equiv y(modn)\) ise;
\(x\pm kn\equiv y(modn)\)
\(x\equiv y\pm kn(modn)\)
- Bir toplamın bölümünden kalan toplanan sayıların ayrı ayrı bölümlerinin kalanlarının toplamına eşittir:
\(\overline{a_n+b_n}= \overline{a_n}+ \overline{b_n}\)
Modüler aritmetikte bilinmesi önemli olan özellikler aşağıda sıralanmıştır:
- Bir denkliğin bir tarafına modülün katları eklenir ya da denkliğin bir tarafından modülün katları çıkarılırsa denklik bozulmaz:
\(x\equiv y(modn)\) ise;
\(x\pm kn\equiv y(modn)\)
\(x\equiv y\pm kn(modn)\)
- Bir toplamın bölümünden kalan toplanan sayıların ayrı ayrı bölümlerinin kalanlarının toplamına eşittir:
\(\overline{a_n+b_n}= \overline{a_n}+ \overline{b_n}\)
- Bir çarpımın bölümünden kalan çarpılan sayıların ayrı ayrı kalanlarının toplamına eşittir:
\(\overline{a_n.b_n}= \overline{a_n}. \overline{b_n}\)
- \(x\equiv y(modn)\) ise \(x\pm c\equiv y\pm c(modn)\) \(c\in Z\)
- \(x\equiv y(modn)\) ise \(x.c\equiv y.c(modn)\) \(c\in Z\)
- \(x\equiv y(modn)\) ise \(x^c\equiv y^c(modn)\) \(c\in Z^{+}\)
- \(x\equiv y(modn)\) ise \(x\pm c\equiv y\pm c(modn)\) \(c\in Z\)
- \(x\equiv y(modn)\) ise \(x.c\equiv y.c(modn)\) \(c\in Z\)
- \(x\equiv y(modn)\) ise \(x^c\equiv y^c(modn)\) \(c\in Z^{+}\)
- \(x_1\equiv y_1(modn)\) ve \(x_2\equiv y_2(modn)\) ise \(x_1\pm x_2\equiv y_1\pm y_2(modn)\)
- \(x_1\equiv y_1(modn)\) ve \(x_2\equiv y_2(modn)\) ise \(x_1.x_2\equiv y_1.y_2(modn)\)
