İşlem (AxB)'den C'ye özel bir fonksiyondur.
\(f:(AXB)\rightarrow C\)
A={1, 2} ve \(\Delta :(AXA)\rightarrow A\) olmak üzere örnek olarak bir işlem tanımlansın. Tablo üzerinde bir işlem tanımlandığında ilk elemanın en soldaki sütundan, ikinci elemanın da en üstteki satırdan alınacağı akılda tutulmalıdır. İki elemanın kesiştiği noktadaki değer işlemin sonucudur.
Bu durumda şu sonuçlara varılabilir:
\(1\Delta 1=1\)
\(1\Delta 2=2\)
\(2\Delta 1=2\)
\(2\Delta 2=2\)
İşlemler bazı özelliklere sahip olabilir. Bu özelliklere sahip olması için gerekli şartlar aşağıda sıralanmıştır:
Kapalılık Özelliği:
\(\forall x,y\in A\) için \(x\Delta y\in A\) ise \(\Delta \) işleminin kapalılık özelliği vardır.
Değişme Özelliği:
\(x\Delta y= y\Delta x\) ise \(\Delta \) işleminin değişme özelliği vardır.
Birleşme Özelliği:
\(x\Delta (y\Delta z)= x\Delta y(\Delta z)\) ise \(\Delta \) işleminin birleşme özelliği vardır.
Dağılma Özelliği:
\(x\Delta (y* z)= (x\Delta y)*(x\Delta z)\) ise \(\Delta \) işleminin * işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Etkisiz Eleman:
\(x\Delta e= e\Delta x=x\) özelliğini sağlayan e elemanı etkisiz elemandır. Etkisiz eleman yalnızca bir tane olabilir.
Ters Eleman:
\(x^{-1}\), \(x\)'in tersi olmak üzere \(x\Delta x^{-1}= x^-1\Delta x=e\) eşitliğini sağlar.
İşlem tablo üzerinde tanımlanırsa değişme özelliği sol üst köşeden sağ alt köşeye bir çizgi çekilerek test edilebilir. Bu yapıldığında değişme özelliği varsa tablo bu çizgiye göre simetrik olur.
Yukarıda tablo olarak gösterilen iki işlemden soldakinde değişme özelliği varken sağdakinde yoktur.
Etkisiz eleman da yine tabloda kolayca görülebilir. Hem dikeyde hem de yatayda tüm elemanları kendi değerine götüren eleman etkisiz elemandır.
