Sıralı İkili
\((a, b)\) şeklinde a ve b'nin sırası da gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili denir. Sıralı ikili ile ilgili aşağıdaki özellikler bilinmelidir:
\((a, b)\neq (b, a)\)
\((a_1, b_1)=(a_2, b_2)\) ise \(a_1=a_2\) ve \(b_1=b_2\)
Kartezyen Çarpım
İlk bileşeni A kümesinden ikinci bileşeni de B kümesinden alınarak oluşturulabilecek tüm elemanların oluşturduğu kümeye A'nın B ile kartezyen çarpımı denir ve \(A\times B\) şeklinde gösterilir.
Örneğin A={1, 2, 3} ve B={1, 2} olmak üzere:
AXB={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
Kartezyen çarpımla ilgili bilinmesi gereken özellikler aşağıdadır.
\(A\times B\neq B\times A\)
\(A\times A=A^2\)
\(A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)\)
\(A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)\)
\(s(A\times B) = 2^{\large s(A).s(B)}\)
Bağıntı
İki kümenin kartezyen çarpımının alt kümelerinden her biri birer bağıntıdır.
Örneğin A={1, 2, 3} ve B={1, 2} olmak üzere:
\(\beta _1={(1,1),(1,2),(2,2)}\) ve \(\beta _2={(1,1),(3,1)}\) A'dan B'ye birer bağıntıdır.
Yansıma Özelliği
\(\beta \subset A\times A\) olmak üzere \(\forall x\in A\) için \((x,x)\in \beta\) ise \(\beta\) yansıyan bir bağıntıdır.
Örneğin A={1, 2, 3} olmak üzere:
\(\beta _1={(1,1),(2,2),(3,3)}\) ve \(\beta _2={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}\) bağıntıları birer yansıyan bağıntıdır.
Geçişme Özelliği
\(\beta \subset A\times A\) olmak üzere \(\forall (x,y)\in \beta\) ve \(\forall (y,z)\in \beta\) için \((x,z)\in \beta\) ise \(\beta\) geçişme özelliği olan bir bağıntıdır.
Örneğin A={1, 2, 3} olmak üzere:
\(A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)\)
\(s(A\times B) = 2^{\large s(A).s(B)}\)
Bağıntı
İki kümenin kartezyen çarpımının alt kümelerinden her biri birer bağıntıdır.
Örneğin A={1, 2, 3} ve B={1, 2} olmak üzere:
\(\beta _1={(1,1),(1,2),(2,2)}\) ve \(\beta _2={(1,1),(3,1)}\) A'dan B'ye birer bağıntıdır.
Yansıma Özelliği
\(\beta \subset A\times A\) olmak üzere \(\forall x\in A\) için \((x,x)\in \beta\) ise \(\beta\) yansıyan bir bağıntıdır.
Örneğin A={1, 2, 3} olmak üzere:
\(\beta _1={(1,1),(2,2),(3,3)}\) ve \(\beta _2={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}\) bağıntıları birer yansıyan bağıntıdır.
Geçişme Özelliği
\(\beta \subset A\times A\) olmak üzere \(\forall (x,y)\in \beta\) ve \(\forall (y,z)\in \beta\) için \((x,z)\in \beta\) ise \(\beta\) geçişme özelliği olan bir bağıntıdır.
Örneğin A={1, 2, 3} olmak üzere:
\(\beta _1={(1,2),(1,3),(2,3)}\) ve \(\beta _2={(1,1),(1,2),(2,2)}\) bağıntıları birer geçişen bağıntıdır.
Simetri Özelliği
\(\beta \subset A\times A\) olmak üzere \(\forall (x,y)\in \beta\) için \((y,x)\in \beta\) ise \(\beta\) simetrik bir bağıntıdır.
Örneğin A={1, 2, 3} olmak üzere:
\(\beta _1={(1,2),(2,1),(2,2)}\) ve \(\beta _2={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)}\) bağıntıları birer simetrik bağıntıdır.
Ters Simetri Özelliği
\(\beta \subset A\times A\) olmak üzere \(x\neq y\) ve \(\forall (x,y)\in \beta\) için \((y,x)\notin \beta\) ise \(\beta\) ters simetrik bir bağıntıdır.
Örneğin A={1, 2, 3} olmak üzere:
Örneğin A={1, 2, 3} olmak üzere:
\(\beta _1={(1,1),(2,1),(2,2)}\) ve \(\beta _2={(1,1),(1,3),(2,2),(3,2)}\) bağıntıları birer ters simetrik bağıntıdır.
Yansıma, geçişme ve simetri özelliklerinin tümüne sahip olan bağıntılara denklik bağıntısı; yansıma, geçişme ve ters simetri özelliklerinin tümüne sahip olan bağıntılara da sıralama bağıntısı denir.